数学是从什么时候开始反直觉的？

数学似乎一直都很反直觉。 人脑本来不擅长复杂的数学，是多年的训练改造了大脑 以下是我印象最深的几次： 第一次是幼儿园，算7+8，我想了半天也不理解为什么是15。 麻麻让我掰手指，我说手指不够，她说借我两只手。数了好几分钟，终于数到15，然而还是非常疑惑为什么。。。 第二次是我刚学了乘法分配律。我妈问(a+b)^2是什么，我说a^2+b^2。 那次我正躺在她送我去学校的车后座上，没有纸笔帮我，就一直在想2ab这个项是哪里来的 第三次是高中的物理课了。老师出了道题，说假设有一个引力的dipole，即一颗正质量的星球和一颗负质量的星球，而你在他俩的中线之上离着比较远的一点，问你的重力势能是多少？ 我的数学公式告诉我，如果我沿着中线做一个积分，因为线上的引力都是0，我可以不费能量的推到无限远，所以势能为零。但是无论如何我也无法说服自己这个答案。 老师说，虽然是考试，但你可以写个代码试一下。我用visual python很快做了个动画。我发现我会因为引力绕着dipole进行一个半圆的运动，直到另一端的中线，然后再回来。 我想，如果我重力势能为零，我要是给一点点初始的动能，我就可以跑到无限远。 我给代码里象征我自己的正质量球加了一点点速度，然后开始运行模拟。这个球还是绕着这条轨道，似乎没什么变化。 我心想，我的公式一定错了，于是把答案涂了交了白卷。 老师说答案是零，我本来写对了。 我后来点开了代码，发现其实小球是有变化的，每一次的半圆运动的半径都会增加一点点。如果程序跑得够久，也是可以到无限远的。我的代码没错，只是我不够有耐心，没试试更大的初始速度或者更快的时间推演。 这件事我一直印象很深刻，我竟然都做出正确答案了，还坚持错误的观点。 第四次是高中数学课上，老师讲到各种数值做积分的方法，比如用小方块去估计，梯形去估计，那么很自然的就会有用抛物线去估计。 然而神奇的事情是，课本上写了抛物线法只对估计4次及以上的多项式有误差，换言之抛物线可以完美估计三次方程曲线下的面积！ 我算了半天，果然如此。然而因为我没学计算数学，我到现在还不明白。 第五次是有理数可数 第六次是无理数不可数，以及它的推论哥德尔不完备定律和图灵机停机问题 但是上了大学之后反直觉的事情反而是越来越少的，毕竟接受了那么多的训练。 还要感谢3blue1brown，很多时候我是先有正确的直觉，再看到具体的公式细节的。 如果你们对物理题好奇我可以讲讲。
我们是AP物理班，老师说A是正常考试就能给，但是A+必须要考附加题。这个附加题是每章一道题，都是要么很难要么很繁琐的，给最多3个小时算，但一般一个小时做不出来就永远做不出来了。不许查书，但能现场写代码。 dipole就是其中一道，算是其实不难，但很巧妙的题。 我印象里还有一些比较狗的题。 比如有一个倒扣着的抛物线形状的轨道，你从轨道的下沿/内沿按照一定初始速度发射一台小车。问小车所受的向心力在哪个点最大。 所以可以想像有三种情况。 一种情况是小车速度不够，所以其实在轨道上还没到顶就掉下来了。我印象里向心力最大的点好像是初始点，可能记错了。 第二种情况是小车速度很大，嗖一下就跑完了抛物线轨道。那样离心力最大点是轨道的最高点。 第三种情况就太狗了，是速度既够靠离心力走完全程，但是又没有那么快。这样的话小车的离心力在某个中点，我印象里答案写出来有三行，但老师说不对。 反正我应该是我们班唯一做出来过附加题的